Phương Trình Tuyến Tính Là Gì

  -  
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng biệt cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-10X

I. Khái niệm chung:

1. Định nghĩa:

1 hệ bao gồm m pmùi hương trình của n ẩn số

*
tất cả dạng:

*

vào đó:

*
;
*
– hệ số (của ẩn) ;
*
– thông số tự do.

Bạn đang xem: Phương trình tuyến tính là gì

2. Nhận xét:

Ta đặt:

*
" class="latex" /> ;
*
" class="latex" /> ;
*
" class="latex" />

khi kia, theo phương pháp của phnghiền nhân ma trận ta có:

*

Hay hệ pmùi hương trình (1.1) rất có thể viết thành phương trình ma trận:

*
(1.2) cùng được Hotline là dạng ma trận của hệ phương thơm trình.

Trong đó: A – ma trận hệ số của (1.1) ; X – ma trận ẩn số (cột ẩn số) ; B – ma trận tự do thoải mái (cột tự do)

Ma trận

*
" class="latex" /> được Call là ma trận không ngừng mở rộng (ma trận xẻ sung)

3. Phương trình tuyến đường tính thuần độc nhất (Homogeneous systems):

Từ hệ (1.1) trường hợp

*
. Ta có:
*

Hay:

*

lúc đó: hệ (1.3) được Gọi là hệ phương thơm trình đường tính thuần độc nhất vô nhị (vì luôn luôn có một nghiệm tầm thường – trivial solution

*
) khớp ứng cùng với hệ (1.1). Hệ (1.1) được hotline là hệ phương trình tuyến đường tính (pttt) tổng quát (giỏi pttt không thuần nhất)

4. Hai hệ pttt thuộc ẩn số được Call là tương đương trường hợp bọn chúng tất cả thuộc tập phù hợp nghiệm. Ta nhấn mạnh vấn đề rằng, nhị hệ pttt tương tự thì nhất thiết phải bao gồm thuộc số ẩn, tuy vậy số phương trình có thể khác nhau.

Xem thêm: T&Amp;A Ogilvy Là Công Ty Gì

Ví dụ: Hai hệ phương trình

*
với
*
là nhị hệ tương đương vày chúng có thuộc tập nghiệm là:
*

II. Hệ Cramer:

1. Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến đường tính (tổng quát) bao gồm n pmùi hương trình và n ẩn được Gọi là hệ Cramer, trường hợp ma trận của chính nó ko suy biến hóa.

( Cho

*
thì AX = B Call là hệ Cramer giả dụ
*
)

2. Nghiệm của hệ Cramer:

Do hệ phương trình Cramer có

*
cần A khả nghịch và mãi mãi độc nhất ma trận nghịch đảo
*
. Lúc đó: nhân nhị vế của (1.2) mang lại
*
ta có:

*
(1.4)

Vậy hệ bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị xác minh vị (1.4)

3. Định lý Cramer (Cramer’s rule – cách làm xác minh công thức nghiệm của hệ Cramer)

Mọi hệ Cramer n pmùi hương trình, n ẩn số đều có độc nhất vô nhị một nghiệm mang lại bởi vì công thức:

*
(1.5)

trong các số ấy D là định thức của ma trận hệ số A của hệ (1.1); Dj là định thức nhận ra từ D bằng phương pháp vắt cột lắp thêm j của D bằng cột thông số tự do

*

Chứng minh:

Theo phần 2, hệ Cramer tất cả ma trận thông số A là khả nghịch yêu cầu mãi sau ma trận nghịch đảo:

*
(trong các số ấy
*
là ma trận phú vừa lòng của ma trận A)

Do đó, từ hpt:

*
(*)

Bây giờ, ta xét:

*
. Ta có:

*
. \left<\beginarrayc b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \endarray \right> = \left<\beginarrayc b_1A_11+ b_2.A_21+ \ldots +b_n.A_n1 \\ b_1A_12+b_2A_22+ \ldots +b_nA_n2 \\ \ldots \\ b_1A_n1+b_2A_n2+ \ldots +b_nA_nn \\ \endarray \right> " class="latex" /> (**)

Từ (*) , (**) ta có:

*
= \dfrac1D \left<\beginarrayc b_1A_11+b_2A_21+ \ldots +b_nA_n1 \\ b_1A_12+b_2A_22+ \ldots +b_nA_n2 \\ \ldots \\ b_1A_1n+ b_2A_2n + \ldots +b_nA_nn \\ \endarray \right> " class="latex" />

Hay:

*

Ta đặt:

*
(***)

Mặt khác theo khái niệm định thức ta có:

*
(****)

So sánh vế buộc phải của (***) với (****) ta phân biệt Dj đã có được từ D bằng phương pháp cố kỉnh cột j của ma trận hệ số A bởi cột ma trận thoải mái B. (dpcm)

Nhận xét:

Từ biện pháp chứng tỏ bên trên ta thừa nhận thấy: Với hệ có n pmùi hương trình, n ẩn số:

– Nếu

*
thì hệ có nghiệm độc nhất vô nhị.

Xem thêm: Hướng Dẫn Viết Tổng Quan Nghiên Cứu Là Gì ? Nội Dung Và Yêu Cầu

– Nếu

*
cùng vĩnh cửu
*
thì hệ chắc hẳn rằng vô nghiệm.

– Nếu

*
thì
*
có dạng vô định yêu cầu tất yêu Kết luận được. Với trường vừa lòng này ta yêu cầu giải trực tiếp (vẫn kể chi tiết ở vị trí sau)