PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH LÀ GÌ
Shortlink: http://wp.me/P8gtr-10X
I. Khái niệm chung:
1. Định nghĩa:
1 hệ gồm m phương trình của n ẩn số


trong đó:



Bạn đang xem: Phương trình tuyến tính là gì
2. Nhận xét:
Ta đặt:



Khi đó, theo công thức của phép nhân ma trận ta có:

Hay hệ phương trình (1.1) có thể viết thành phương trình ma trận:

Trong đó: A – ma trận hệ số của (1.1) ; X – ma trận ẩn số (cột ẩn số) ; B – ma trận tự do (cột tự do)
Ma trận

3. Phương trình tuyến tính thuần nhất (Homogeneous systems):
Từ hệ (1.1) nếu


Hay:

Khi đó: hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (do luôn có 1 nghiệm tầm thường – trivial solution –

4. Hai hệ pttt cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Ta nhấn mạnh rằng, hai hệ pttt tương đương thì nhất thiết phải có cùng số ẩn, nhưng số phương trình có thể khác nhau.
Xem thêm: T&Amp;A Ogilvy Là Công Ty Gì
Ví dụ: Hai hệ phương trình



II. Hệ Cramer:
1. Định nghĩa:
Hệ phương trình tuyến tính (tổng quát) gồm n phương trình và n ẩn được gọi là hệ Cramer, nếu ma trận của nó không suy biến.
( Cho


2. Nghiệm của hệ Cramer:
Do hệ phương trình Cramer có




Vậy hệ có nghiệm duy nhất xác định bởi (1.4)
3. Định lý Cramer (Cramer’s rule – công thức xác định công thức nghiệm của hệ Cramer)
Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều có duy nhất một nghiệm cho bởi công thức:

trong đó D là định thức của ma trận hệ số A của hệ (1.1); Dj là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j của D bằng cột hệ số tự do

Chứng minh:
Theo phần 2, hệ Cramer có ma trận hệ số A là khả nghịch nên tồn tại ma trận nghịch đảo:


Do đó, từ hpt:

Bây giờ, ta xét:


Từ (*) , (**) ta có:

Hay:

Ta đặt:

Mặt khác theo định nghĩa định thức ta có:

So sánh vế phải của (***) với (****) ta nhận thấy Dj có được từ D bằng cách thay cột j của ma trận hệ số A bằng cột ma trận tự do B. (dpcm)
Nhận xét:
Từ cách chứng minh trên ta nhận thấy: Với hệ gồm n phương trình, n ẩn số:
– Nếu

Xem thêm: Hướng Dẫn Viết Tổng Quan Nghiên Cứu Là Gì ? Nội Dung Và Yêu Cầu
– Nếu


– Nếu

