Home / Tin tức / phương trình tuyến tính là gì

PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH LÀ GÌ

admin - 08/01/2022 112

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-10X

I. Khái niệm chung:

1. Định nghĩa:

1 hệ gồm m phương trình của n ẩn số

có dạng:

trong đó:

;

– hệ số (của ẩn) ;

– hệ số tự do.

Bạn đang xem: Phương trình tuyến tính là gì

2. Nhận xét:

Ta đặt:

" class="latex" /> ;

" class="latex" />

Khi đó, theo công thức của phép nhân ma trận ta có:

Hay hệ phương trình (1.1) có thể viết thành phương trình ma trận:

(1.2) và được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình.

Trong đó: A – ma trận hệ số của (1.1) ; X – ma trận ẩn số (cột ẩn số) ; B – ma trận tự do (cột tự do)

Ma trận

" class="latex" /> được gọi là ma trận mở rộng (ma trận bổ sung)

3. Phương trình tuyến tính thuần nhất (Homogeneous systems):

Từ hệ (1.1) nếu

. Ta có:

Hay:

Khi đó: hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (do luôn có 1 nghiệm tầm thường – trivial solution –

) tương ứng với hệ (1.1). Hệ (1.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính (pttt) tổng quát (hay pttt không thuần nhất)

4. Hai hệ pttt cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Ta nhấn mạnh rằng, hai hệ pttt tương đương thì nhất thiết phải có cùng số ẩn, nhưng số phương trình có thể khác nhau.

Xem thêm: T&Amp;A Ogilvy Là Công Ty Gì

Ví dụ: Hai hệ phương trình

và

là hai hệ tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là:

II. Hệ Cramer:

1. Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến tính (tổng quát) gồm n phương trình và n ẩn được gọi là hệ Cramer, nếu ma trận của nó không suy biến.

( Cho

thì AX = B gọi là hệ Cramer nếu

)

2. Nghiệm của hệ Cramer:

Do hệ phương trình Cramer có

nên A khả nghịch và tồn tại duy nhất ma trận nghịch đảo

. Khi đó: nhân hai vế của (1.2) cho

ta có:

(1.4)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất xác định bởi (1.4)

3. Định lý Cramer (Cramer’s rule – công thức xác định công thức nghiệm của hệ Cramer)

Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều có duy nhất một nghiệm cho bởi công thức:

(1.5)

trong đó D là định thức của ma trận hệ số A của hệ (1.1); Dj là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j của D bằng cột hệ số tự do

Chứng minh:

Theo phần 2, hệ Cramer có ma trận hệ số A là khả nghịch nên tồn tại ma trận nghịch đảo:

(trong đó

là ma trận phụ hợp của ma trận A)

Do đó, từ hpt:

(*)

Bây giờ, ta xét:

. Ta có:

. \left<\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{array} \right> = \left<\begin{array}{c} b_1A_{11}+ b_2.A_{21}+ \ldots +b_n.A_{n1} \\ b_1A_{12}+b_{2}A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{n1}+b_2A_{n2}+ \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right> " class="latex" /> (**)

Từ (*) , (**) ta có:

= \dfrac{1}{D} \left<\begin{array}{c} b_1A_{11}+b_2A_{21}+ \ldots +b_nA_{n1} \\ b_1A_{12}+b_2A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{1n}+ b_2A_{2n} + \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right> " class="latex" />

Hay: